Centrummaten

Centrummaten geven aan welke waarde als centrum van een verdeling kan worden gezien.
Spreidingsmaten laten zien in welke mate de waarnemingsuitkomsten onderling verschillen en afwijken van het centrum.

♦ De modus is de meest voorkomende waarde

Bij losse waarnemingsuitkomsten:
de modus is de waarde van de waarneming die het vaakst voorkomt. [blz.45]

waarnemingsuitkomsten:
43 42 43 46 38 43 42 44 36 37 42 43
modus = . . .

Bij frequentieverdelingen:
de modus is de waarnemingsuitkomst met hoogste frequentie. [blz.47]

Bij frequentieverdelingen met klassenindeling:
de modus is het midden van de klasse met de hoogste frequentiedichtheid (modale klasse). [blz.49]
[frequentiedichtheid = de gemeten frequentie / de klassebreedte]

Te gebruiken

  • als op nominaal niveau of hoger is gemeten
  • als één bepaalde uitkomst, of klasse, een opvallend hoge frequentiedichtheid vertoont
  • als er sprake is van een scheve verdeling
Bijvoorbeeld
Reader Statistiek blz.61: Type 3 en Type 4

♦ De mediaan ligt in het midden van een verzameling

De mediaan, het 50%-punt,  is de waarde van de middelste waarneming. Of, bij een even aantal waarnemingen, de waarden van de middelste twee waarnemingen.
Voorwaarde: de waarden van de verzameling zijn geordend in een (cumulatieve) reeks. De onderdelen van de verzameling waarnemingen moeten dus geordend kunnen worden.

Bij losse waarnemingsuitkomsten:
de waarde van de middelste waarneming of, bij een even aantal waarnemingen, de waarden van de middelste twee waarnemingen. [blz.45]

Berekening rangnummer : (n+1)/2,
en daar de waarde van de waarneming bij

Bij frequentieverdelingen:
de waarde van de middelste waarneming of, bij een even aantal waarnemingen, de waarden van de middelste twee waarnemingen. [blz.47]

Berekening rangnummer: (n+1)/2,
en daar de waarde van de waarneming bij

Bij frequentieverdelingen met klassenindeling:
de mediaan ligt halverwege het cumulatieve aantal uitkomsten ofwel halverwege de totale frequentie [blz.49]

Berekening rangnummer:  (n)/2,
en dan interpoleren in de bijbehorende klasse

Te gebruiken:

  • als op ordinaal niveau of hoger is gemeten
  • als weinig waarnemingen zijn gedaan
  • bij vermoedde onnauwkeurigheid
  • als er sprake is van uitschieters
  • als er sprake is van scheve verdeling
  • als er open klassen voorkomen
De mediaan is het tweede kwartiel, het vijfde deciel, het 50e percentiel.
zie Reader Statistiek blz.37.

♦ De gemiddelde waarde van een verzameling

Bij losse waarnemingsuitkomsten:
de som van alle waarnemingen gedeeld door het aantal waarnemingen. [blz.45]

Berekening voor populatie: μ = Σxi/N
Berekening voor steekproef: X̄ = Σxi/n

Bij frequentieverdelingen:
de som van (alle waarnemingen maal hun frequentie) gedeeld door het aantal waarnemingen. [blz.47]

gemiddelde μ: Σ(ƒi·xi)/N
gemiddelde X̄: Σ(ƒi·xi)/n

Bij frequentieverdelingen met klassenindeling:
de som van (alle klassenmidden maal hun frequentie) gedeeld door het aantal waarnemingen. [blz.49]

gemiddelde μ: Σ(ƒi·mi)/N
gemiddelde : Σ(ƒi·mi)/n

Te gebruiken:

  • als op interval niveau of hoger is gemeten
  • mits er géén uitschieters voorkomen
  • mits en géén open klassen voorkomen

 

.

Van symmetrische en scheve verdelingen

Vallen modus, mediaan en gemiddelde hetzelfde dan is er spake van een symmetrische verdeling.
Wanneer het gemiddelde < de mediaan < de modus is er sprake van een negatief scheve verdeling.
Wanneer het gemiddelde > de mediaan > de modus is er sprake van een positief scheve verdeling.

Bijvoorbeeld
Reader Statistiek blz.60-62

..

Centrummaten combineren met spreidingsmaten

  • De modus wordt gebruikt voor variabelen met nominaal meetniveau.
    Er is geen spreidingsmaat voor nominale variabelen.
  • De mediaan wordt gebruikt voor variabelen met ordinaal meetniveau.
    De bijbehorende spreidingsmaat is de (inter)kwartielafstand.
  • Het gemiddelde wordt gebruikt voor variabelen met Interval meetniveau en hoger.
    De bijbehorende spreidingsmaat is de standaarddeviatie.

 

Veranderingen in de gemeten waarden

Wanneer de oorspronkelijk gemeten waarden van de waarnemingen worden vermenigvuldigd met een bepaald getal, dan worden de centrummaten én de spreidingsmaten ook vermenigvuldigd met dat zelfde getal.